単位閉区間と円周の位相的特徴づけ

単位閉区間と円周については、次のような特徴づけが知られています。

定理A. X を 2 点以上の点からなるコンパクト・連結・距離化可能な空間とする。このとき、X が単位閉区間 [0,1] と同相であるためには、X\setminus\{p\} が連結であるような点 p\in X の個数が 2 個以下であることが必要十分である。

定理B. Xを 2 点以上の点からなるコンパクト・連結・距離化可能な空間とする。このとき、X が円周 S^1=\{(x,y)\,|\,x^2+y^2=1\} と同相であるためには、任意の異なる p, q\in X に対して X\setminus\{p, q\} が連結でないことが必要十分である。

これらの定理は、1916 年から 1920 年にかけて証明されたもので、前に扱ったカントール集合と有理数空間の特徴づけ(カントール集合については 1910 年、有理数空間については 1920 年)とともに、点集合論トポロジーの黎明期の結果に挙げることができます。これらは次元論が本格的にはじまる直前の時代の結果ということになるようです。

今回は上の定理 A, B の証明について紹介します。

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