PLトポロジーの基礎(暫定版)

これは暫定版です。新しいバージョンは「PLトポロジーの基礎」をご覧ください。

久しぶりの投稿です。今回は、位相空間論から幾何学的トポロジーの方向に少し舵を切りたいと思います。PLトポロジーは多様体などを三角形分割を通して研究する分野です。そこで扱われる対象は「多面体」とよばれる三角形分割可能な図形であり、扱われる写像は「PL写像」とよばれるもので、これは定義域の適切な三角形分割について各単体をアフィン写像でうつすような写像をいいます。例えば、\mathbb{R}から\mathbb{R}へのPL写像は、グラフが折れ線である関数と同じものです。ちなみに、PL とは Piecewise Linear の略であり区分線型と訳すこともあります。もっと正確には Piecewise Affine とすべきかもしれませんが。

今回の PDF では、Rourke-Sanderson による Introduction to Piecewise-Linear Topology (以下 [RS] と書く)という古典的名著を大いに参考とし、多面体も PL 写像も三角形分割によらず内在的に定義するスタイルを取りました。[RS] はこのスタイルを貫くことで大変美しく書かれているのですが、私の PDF でそれが実現できているかは自信がありません。しかし、[RS] をはじめとする PL トポロジーの成書に多かった議論のギャップをほとんど埋めることには成功していると信じています。結び目理論・3 次元多様体論の基礎付けなどで PL トポロジーが必要になり、本を手に取ってはみたが証明が追えなかった、などという人には助けになるかもしれません。

なお、この PDF の内容は、多面体・PL写像と単体複体・単体写像との関係を述べるという最低限の内容にとどまっています。実は、このPDFを作った動機は、2次元・3次元多様体の三角形分割について説明するときに、三角形分割やその細分に関する諸事実の証明が意外に大変で、これは場所を改めてやるべきだと感じたことでした。そういう動機もあって、ここでまとめられていることは、PLトポロジー本来の内容というよりも、それを展開するための基礎といったものになっています。定理の内容も、ていねいに絵を描いて考えれば明らかと思ってもらえるものが多いと思います。

このPDFは暫定版です。本当はもっと完成度を高めてから出したかったのですが、早く読んでもらいたい気持ちもありますし、公開の時期を逃したくなかったのでこの状態でとりあえず公開します。この後は、微分トポロジーでの可微分多様体に対応する PL 多様体の定義と基本事項について書きたいと思っています(これをまだ書いていないのに PL トポロジーの基礎を銘打つべきではないかもしれません)。また、絵がないのはこのPDFの致命的な欠点です!!(非常に見栄えのする絵が描けるのが PL トポロジーの特徴です)これも何とかしたいところです。もっとも、絵がないことで、議論のごまかしをしていないことのアピールにはなっているかもしれませんが…。読むときには各自手元で絵を描くことを強くおすすめします。

追記:2018年5月6日、PLトポロジーPDFの新しいバージョンを公開しました。PLトポロジーの基礎でダウンロードできます。PL多様体の記述が追加されたほか、証明の不備や誤植も修正しましたので、以後はこれを参照して下さい。暫定版は今後公開を終了する予定です。

PDF「PLトポロジーの基礎(暫定版)」

PLトポロジーの基礎(暫定版)」への2件のフィードバック

  1. 例 1.2. 「a = (0, 0) として、(中略)D = {(x, y) ∈ I^2 | x + y ≦ 1} とする。このときも、aD = I^2 である。」:不等号逆ですかね.
    定義 1.6. A は P?

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