位相空間論における反例と線形順序

位相空間論ではさまざまな例が全順序(またの名を、線形順序)を伴って構成されます。たとえば、実数直線 \mathbb{R} の通常の位相は開区間 (a,b) の全体で生成されます。これを少し変更して、実数直線に [a,b) の形の半開区間の全体で生成される位相を入れたものは Sorgenfrey 直線と呼ばれ、反例としてよく引用されるものです。これは例えば、それ自身はパラコンパクト Hausdorff だがその平方はパラコンパクトでないような空間の簡単な例になっています。

1 次元多様体で距離化可能でないものの例として、長い直線を以前に取り上げました。これも、全順序集合に開区間全体から生成される位相を入れたものです。長い直線の構成で重要だったのは、最小の非可算順序数 \omega_1 です。この \omega_1 に開区間から生成される位相を入れたものは、位相空間論で非常に汎用性の高い反例です。とくに、パラコンパクト性を一般化して得られる様々な性質が \omega_1 では成り立たない(\omega_1 は非パラコンパクト性が高い!)ことが知られています。

また、少し変わった例として Michael 直線というものがあります。これも土台となる集合は実数直線ですが、通常の開区間に加えて、各無理数 q について 1 点集合 \{q\} も開集合であるとして得られる位相が入っています。Michael 直線は正規空間となりますが、ある距離空間 M との直積が正規空間となりません。実際、そのような M として、通常の位相が入った無理数全体 \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} を取ることができます。この例は正規性が積について非常に保たれにくいことを示す例といえます。

以上の例のうち、実数直線・長い直線・\omega_1 は全順序集合に開区間すべてで生成される位相を入れたものです。このような位相空間を、線形順序空間 (linearly ordered space) といいます。

Sorgenfrey 直線や Michael 直線はもう少し複雑です。これらは、全順序集合において、その順序に関する凸集合(つまり a,b\in E,\, a<x<b \implies x\in E を満たすような E)の族を一つ指定し、それで生成される位相を入れたものになっています。このような位相空間を、GO 空間 (Generalized ordered space, GO-space) と呼んでいます。もちろん、線形順序空間は、GO 空間です。

このように、位相空間の主要な反例と考えられているものが、線形順序空間、あるいはより一般に GO 空間となっています。

今回の PDF では、このような反例について最初は個別に性質を見ていき、中盤にさしかかった辺りで線形順序空間と GO 空間の一般論を展開し、ある種の強い正規性(継承的族正規性)など統一的に証明できる性質を示していきます。また、GO 空間は、空間のクラスとして、線形順序空間の部分空間と同じものであることも示されます(PDF ではこちらを GO 空間の定義として採用しています)。

さらに全順序集合の完備化のテクニックを用いて、任意の GO 空間があるコンパクトな線形順序空間に稠密に埋め込まれることをみます。これは、GO 空間についての命題を線形順序空間に帰着するために用いられます。

最後に、GO 空間のクラスにおいて、位相空間のさまざまな可算性(可分性・リンデレフ性など)の間の相互関係(つまり、どの性質からどの性質に含意 \implies があるか)を調べます。図を見れば一目瞭然なのですが、一般の空間の場合に比べて、GO 空間の可算性は非常に簡単な一直線の(線形順序をなして並んだ!)含意関係があります。

この議論の過程で自然に生じる問題の中には、集合論から独立であることが分かっているものが多くあります。例えば、含意関係のなす図式で \implies と書かれている場合、\Longleftarrow には反例がある場合もありますが、反例の有無がそもそも集合論から独立であると分かっている場合もあります。独立性証明については現状の筆者の能力を越えていますが、知られている事実については必要に応じてまとめました。

PDF「位相空間論における反例と線形順序」

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