局所コンパクト空間と exponentiability

Twitter のタイムラインを見て、考えたことを書いてみます。

位相空間 から位相空間 への連続写像全体にコンパクト開位相を導入したものを と書くとき、次の事実は代数的トポロジーで非常によく使われます。

定理．　 を局所コンパクト Hausdorff 空間とするとき、任意の位相空間 に対して、自然な全単射  がある。

圏論的には、この事実を「局所コンパクト Hausdorff 空間は、位相空間の圏 において exponentiable である」と表現することができます。

実は、これには逆が成り立ちます。圏論有名サイトの nLab によると位相空間の圏で exponentiable であることは “core compact” であることと同値であり、また、Hausdorff 空間が core compact であることは局所コンパクトであることと同値です。

したがって、定理の全単射が任意の位相空間 について存在するような Hausdorff 空間 は、そもそも局所コンパクトでなければなりません。

このことは少し考えれば自分でも示せると思っていたのですが、案外そうでもありませんでした。結局考え続けた結果、Ernest Michael の論文を参照して仕上げることになりました（Michael は位相空間論で多くの重要な仕事をしています）。 完全に自力で出来なかったのは残念です。

局所コンパクト空間と exponentiability

上の PDF ファイルにまとめました。話題を提供していただいた方に感謝します。